勾股定理：定理、逆定理与勾股数

勾股定理是几何中最重要的定理之一，中考必考。整理自《中考数学状元笔记》：

直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a²+b²=c²。

应用：已知直角三角形任意两边，可求第三边：c=√(a²+b²)，a=√(c²-b²)。常用于求线段长度、解直角三角形、证明平方关系。

如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且 c 所对的角是直角。

应用：判定一个三角形是否为直角三角形（先找最长边，再验证平方关系）。

勾股定理是“由直角三角形得三边关系”（性质）；逆定理是“由三边关系判定直角三角形”（判定）。二者互为逆命题。

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题。把一个命题的题设和结论互换，就得到它的逆命题。原命题成立，逆命题不一定成立。

满足 a²+b²=c² 的三个正整数，叫做勾股数。常见的勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41。勾股数同时扩大（或缩小）相同的倍数仍是勾股数。

常见证明方法：赵爽弦图（面积法）、毕达哥拉斯证法、总统证法等，核心都是利用面积相等建立等量关系。