有理数：概念与运算全攻略

有理数是初中数学的起点，也是中考基础必考内容。以下整理自《中考数学状元笔记》：

凡能写成 q/p（p、q 为整数且 p≠0）形式的数都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。

注意：① 0 既不是正数，也不是负数；② -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；③ π 不是有理数。

按定义分：有理数 = 整数（正整数、0、负整数）+ 分数（正分数、负分数）；按符号分：有理数 = 正有理数（正整数、正分数）+ 零 + 负有理数（负整数、负分数）。

数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数还是 0；a+b=0 ⇔ a、b 互为相反数。

绝对值：正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数。绝对值的几何意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离。|a| = a（a≥0）或 -a（a<0）。绝对值问题经常需要分类讨论。

① 正数的绝对值越大，这个数越大；② 正数永远比 0 大，负数永远比 0 小；③ 正数大于一切负数；④ 两个负数比大小，绝对值大的反而小；⑤ 大数-小数>0，小数-大数<0。

互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。注意：0 没有倒数；若 a≠0，a 的倒数是 1/a；ab=1 ⇔ a、b 互为倒数。

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与 0 相加，仍得这个数。运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+(b+c)。

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a-b=a+(-b)。

乘法法则：两数相乘，同号为正、异号为负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；几个数相乘，有一个因式为零积为零，各个因式都不为零时，积的符号由负因式的个数决定（奇负偶正）。运算律：ab=ba；（ab）c=a(bc)；a(b+c)=ab+ac。

除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。注意：零不能做除数。

乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。求相同因式积的运算叫做乘方，相同的因式叫底数，相同因式的个数叫指数，乘方的结果叫做幂。

混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减。

科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a×10ⁿ 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数。

近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字都叫这个近似数的有效数字。如 0.1500 有 4 个有效数字，1.9×10³ 有 2 个有效数字。